SC:The Party Conversation Chapter

相长与相消干涉(Constructive and Destructive Interference)

当两条声波在波谷交合之时,将产生相长与相消干涉。相长干涉即两条波的动作和方向一致的时候:同增或同减。相消干涉即一个增一个减的时候,因此,一个在推,另一个却在拉,并互相干扰。

下图展示正弦波和方波以展示这个现象。相长与相消模式在方波的例子中更容易被识别。每个图释上游三个信号:上方的是500Hz频率的,中间的是300Hz,最下边的展示了它们结合后的样子。图释之初,所有波都处于它们循环的正的部分(positive part),两个波相加在一起。当第二个波移动到了其负的部分,两个波便彼此削减。当它们均为负值的时候,负值便相加。第二副图也是一样的,只不过变为了正弦波。

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我们的音乐体验由波干涉后的模式组成。我们将它们辨识为音程、和弦和旋律,将它们用于调校乐器并作为空间和环境的线索(回响与回声)。如果它们是同等的频率、不同的形状,结合后我们将它们当作一个单独的波来听,因为它们具备一个共同的周期循环。

用“拍子”为乐器调音

如果一个波具有和另一个稍稍不同的频率,比如说440和444,然后两个波缓慢的在相位间进出,创建完整的相长干涉,而后又是完整的相消干涉。这种移相(phase shift)类似于具有几乎同等闪烁率的转弯灯的效果。它们一开始同时闪烁,然后慢慢移出相位至一个闪一个不闪,而后又再次回归相位。

当频率如此接近时,相位进出的速度等于频率的差值(440和444将以每秒4次进行相位进出)。这个交互作用产生的“拍子”被用于为乐器校音。越少的拍子,越多的音色。在课堂上,我们使用多种度数拍子的频率做听觉测试。所有音乐家及非音乐家都得出结论:1%的不同,或1:1.01的比率,是“走调的”,2%则是“完全走调的”。大于7%的差别就变成了另一个音(但仍属于走调范畴)。

调音狂迷用分来形容音程间的距离以及不同的调音变化。每半步是100分,一个八度是1200分,并且每个八度都是这样。1%大约是17分,2%大约34分。因此,两个误差在10分以内的音可以被认为是合调的。

相位删除

有造成完全相消干涉的情形。如果两条正弦波具有同样的频率和振幅,但其中之一正好位于相位之外180度,它们的能量循环刚好属于镜像关系,那么两条波便彼此删除。不正确的麦克风和扬声器摆放会形成相位删除。

这有一个例子:一个长度为10尺的100Hz波。如果你用两个麦克录制这样一个信号,一个距音源20尺,另一个25尺(远5尺,刚好是100Hz波一半的长度),而后当波抵达第二个麦克时,它将在其相位的180度。在那一点上,它将开始其循环向下的部分。当两个信号混合并从其向上部分开始时,另一个刚好由向下部分开始,它们的能量是完全倒置的。一个推(位于相位0度),一个拉(位于相位180度)。因此它们在完全的相消干涉中彼此删除。

不正确的扬声器放置(或者配线)同样会造成相位删除。尝试这个实验:经由两个扬声器播放一个频率大约100Hz的纯正弦波。塞住一只耳朵,将另一只指向扬声器,之后绕着房间走。由于频率会在墙上弹回,因此很难做到纯粹的相位删除,但你将会听到空的点,这里声音更静。在某些情况下会完全消失。这种效果是由于你距离两个扬声器距离不同造成的。与波的长度1/2的不同(或倍数),你所站的位置即一个扬声器里的波是波峰,另一个是波谷的位置。

相位删除不能总被避免。事实上,它是立体声麦克风放置空间线索的要素(接着往下读)。它同样是声音删除耳机几乎令人难以置信的效果的主要原因。但由于它会通过移去频率改变你想要录制声音的特征,因此我们在放置麦克风时尽量不要引入它。

音程

当两条波依某种比率联系在一起(2:1, 3:2, 8:5),我们将聚合干涉模式作为音程听到。下边的图示展示了两个2:1比率的波。注意第三条是它们结合后的信号。波的组合“循环”频率为两者的公分母。即当它们同步和开始下一个循环的时候。在例5.2中,是每个上层波的循环,以及每个下层波的另一个循环。在第二例中,是每个上层波的下一时间,以及每个下层波的第三个时间。

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另一可视化相长干涉组合模式的方式是用一个小刻度标记每个波峰。如果我们用2:1这么做,我们可以看到每个一个刻度(波峰)排列起来。用3:2的话,每第三和第二个刻度会排列起来。下边的图示用刻度说明了这个情况。

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在闲聊时,我常被问及音乐的本质是什么:我们为什么使用大调和小调音阶,为什么一个音阶有12个音符,我们该如何解释黑白键分布的原因?人们对音乐为什么听起来会像那样而感到好奇:有的阴暗、有的阳光、有的混乱。我们接受西方音乐中的体系是因为我们从小便习惯于它(教育),或者是因为它真的具有一个基本原则(本质)?对于音乐来说,放之四海而皆准的理论是什么?

是这样的:音乐是数学。

在西方自然音阶(白键)音乐音阶中使用的音都是基准音的倍数。一个八度是两倍,一个五度(fifth)三倍,一个三度是五倍,一秒是九倍。当这些谐波(harmonic)被移调到高于基准音一个八度,结果将是一个自然音阶。因为一个音阶内的音符来自谐波,谐波是比率(ratio),于是我们在西方式(白键)音乐中使用的自然音阶能被表述为比率。

一个三次谐波(third harmonic)(一又五分之一个八度)比率为3:1。将它降低一个八度,于是便只有五分之一高于基准音,你可以将之除以1/2,比率为1:2。那两个比率的结合为3:2。一个五分之一比率为3:2。五次谐波,二又三分之一个八度,可以通过移调两个八度(1:4)得到一个常规的三度(third)。5:1 和 1:4 结合后的比率为 5:4。

所有的上层谐波都可以通过同样方式的八度移调到普通的音程。结果是我们音阶内的音程从同度(unison)到八度(一级是钢琴上的两个键,½级是一个琴键):

P1 同度 C到C 1:1
M2 1 级 C到D 9:8
M3 2 级 C到E 5:4
P4 2½ 级 C到F 4:3
P5 3½ 级 C到G 3:2
M6 4 ½ 级 C到A 5:3
M7 5 ½ 级 C到B 15:8
P8 6 级 C到C 2:1

黑键同样可以运用谐波计算。或者它们可以由结合白键得到,比如说,一个大三和大二组成一个增四,或者C到F#。注意这些音程具备更高的比例。

m2 ½ 级 C到Db 16:15
m3 1 ½ 级 C到Eb 6:5
+4 3 级 C到F# 45:32
m6 4 级 C到Ab 8:5
m7 5 级 C到Bb 9:5

最后,一个记忆8, 5, 4, M3, m3的简单方式是这些数字非常特殊(第一个数字比第二个大1):2:1, 3:2, 4:3, 5:4, 6:5。只需要记住在一个9:8大二序列中的跳动即可(7:6, 8:7又怎样?)。而后你可以轻松的计算其他音程。举个例子,m6是M3反向向上移动一个八度(4:5 * 2:1 = 8:5)的结果,三全音是M3+M2。

将它们由从低至高的比率排列更有效和合理:

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为什么更合理?因为这将它们从和谐到不和谐排列起来。

谐和和不谐和(Consonance and Dissonance)

那么音乐即数学,但更具体地说,它是描述由波的比率造成的相长相消干涉模式的数学。音程、和弦、旋律,甚至大范围的正式结构,都有着数学上的联系。音乐的体验被归结为人们对于声音、时间相关模式的探寻。我们将我们听到的模式与我们记忆中的那些比对和匹配:从千分之一秒前的小层面到天和年的大层面。当我们持续听到2或3个频率时,我们不仅将每个波的循环认作一个周期模式,并将它们间的每个联系当作一个模式(一组成为旋律的比率),而且我们会将模式的序列(sequence)与我们小时候听到的频率(旋律)记忆相匹配。

那么为什么不同类型的音乐会引起如此大范围的情感反应?

学音乐的学生用整整四个学期的时间学习和掌握控制音乐类型中谐和和不谐和的平衡。很多书本中,将谐和和不谐和定义为放在一起听起来“好”的音(谐和),以及放在一起听起来不好的。这基于两点来看是错误的。首先,这意味着音程必须分成一个或其他类别。它们可不这样。第二,这意味着你应当避免不谐和。你不应该这样,我们也不这样。

当然,全部音程伴随连续的谐和与不谐和音阶走向某处,音乐家使用这个音阶中的音程以达到一种特殊的情绪。一个更合适的定义来自拉丁语consonare:“一起发声”。低比率的音程具有更多的相长干涉,同时发生的波更频繁:他们“同时发声”。不谐和音程的波更少同时发声,并因此显得“分别发声”。

包含复杂数学的繁琐或远程的关系令我们不舒服,听起来感觉黑暗,甚至恐怖。简单的关系是可预料的、放松的,还有可能无聊。但如果比率的集合维持保留我们的兴趣或符合我们那时的心情(依环境变更:教堂,影院,音乐厅)的平衡,音乐是有效的。如果一个作曲家的目标是复位,他将使用简单的关系。如果她想让我们焦躁,那么她可能尝试更复杂的关系。即使一个作品并不如我们的预期,它仍将是有效的,如果它是通过使用相关的谐和和不谐和来达到作曲家的目标。

用早一点介绍的刻度系统标记波峰,你将能看到每个比率的模式。注意那些较大数字的比率有一个更长的复合循环(combined cycle),因此在一致的拍子间有更多时间,这很难在页面上看到,更难被听到。越高的比率越不谐和,越低的比率越谐和。不谐和音乐(复杂的数学)让我们不舒服,同时谐和音乐(简单的数学)让我们镇静。

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源自这些倍数(泛音,和声)的音组成音阶。当同时演奏一组那样的音符,他们搜索一个主音。主音是最小公分母,或倍数的最低频率。但循序或连续演奏它们时,我们的耳朵将谐波系中的低音认作更强的或更稳固的,基础音被认作是最强的。西方音乐基于在稳固,或谐和结构到不谐和结构间的进出建立。那个动作,以及在无限变化中的相对谐和/不谐和,便是在Bach, Wagner, Schoenberg, Chick Corea, 和 Alison Kraus等人作品中令人满意的部分。所有类型都能被归结为在低比率和高比率、谐和和不谐和、结构和延伸(prolongation)、稳定性和不稳定性、谐波音阶的低到高、主音 (1:1)到属音 (3:2)到主音 (1:1)。

调音,乐律,和毕达哥拉斯音律(Tuning, Temperament, and the Pythagorean Comma)

认为音乐是基于如此合理的科学准则之上是可靠的。那么我将继续讲述一个令人不安的事实:钢琴是走音(not in tune)的。它们的本质决定了它们无法被正确校音,即我们刚说的比率。没有足够多的按键或琴格(frets)来表达所有需要的音。此外,当非琴格或按键乐器比如人声或小提琴可以调校到琴格或按键乐器常常无法达致的自然比率时,它们却往往没这么做,因为它们必须与合唱团中的琴格或按键乐器配合。在钢琴伴奏唱诗班的情况下,歌手们将它们演唱的音符调校到与钢琴一致,这是错误的。

我可以看到你正在摇头,那么让我们来做算术吧。我们将从使用最低可能比率(最和谐的或“准音”)的降A或升G的黑键的频率开始。从C4(大约261.6)开始,我们将往上一个小六度(8:5)到降A。结果(261.6 * 8 / 5)是418.56。另一边,升G是C向上两个大三度(261.6 * 5/4 * 5/4),即408.75:甚至都不靠近降A。事实上,这两个“等音”的音,降A和升G,几乎在两者间有1/4级(41分)的差异存在!同学们常常会对这些结果(或者他们会提出几类化整误差)起疑,那么我会等着你从厨房的抽屉里找出你的计算器。

你正眼神呆滞?还没完呢。我们得到各种答案基于的途径:如果我们从八度往下两级是413.4,使用小三度是418.56,然后是四度,使用全部增强(whole tones up)是419.03,升半级是438.43,从八度降半级是404.19。

你震惊的表情是可以理解的。但解释是简单的:即,因为降A和升G在钢琴上由同一颗键表述,但它们却是不同的音高。一个大提琴演奏家或小提琴手将会不同的演奏它们。尽管实验钢琴有类似打字机式的键盘来存放每个音高,但我们的现代钢琴对于这两个音来说却只有一个键。你该怎么办呢?把音调准到一个或另一个?如果你调到降A,那小C的调,使用到降A,将不走音。但大E的调,使用到升G,将走调。琴格乐器也一样。每个音符的准确位置基于环境的改变而改变。早期的吉他为适应这样的调整而具有可移动的指板,但却难于打理。固定的指板开始被使用,于是也带来了同样的困境。你将吉他的指板设置为哪个音符?如果你将它调为一种,将失去另一种。这也可以解释为什么你能将你的吉他调得弹G和弦很赞,但弹E和弦却傻逼掉。

三个世纪之前,音乐界选择了一个。实践的结果是你仅能演奏特定的键:包含那些你校准过音高的(比如Ab,而不是G#)。在这个系统里,你偏离那些简单的键越远,听起来便越走音。很多音乐家,尤其是巴赫,不满足于如此的限制。他们做出的妥协即平均调音(equal tempered tuning),弦被调整(五度降2分)到足够走音以表述所有键盘上等音的音高,但听起来又很OK的合调。几乎用了100年,这才被接受,并且辩论仍在继续,但已不多。巴赫的杰作”The Well-Tempered Clavier”在12个大小调内涵盖的牛逼的赋格曲证明了这个价值,并激励了到平均律的迁移(equal temperament)。

在频闪仪或电子调谐器出现前,调制如此精确频率的技术是计数每秒的拍数(beat)。我们之前看过的精准校音,比如444和440,可以聆听由它们相位进出时产生的beat(每秒4次)来计算。我们用来调校那两个频率的beat可能有一个速度(tempo):240bpm。这些电子前调音器会将一个节拍器设置到为钢琴上每五度正确的去谐度所计算的速率上,并调谐到节拍器的拍子上。听起来很轰狂?那看看这个:他们甚至还略微调节了一点平均律音阶,以拉伸更高的八度。

降A/升G的平均律音是415.3,差不多是纯降A(418.56)偏移 .7%或14分,同时是纯升G(409.8)偏移1.3%或27分;这与我们之前章节里的定义是相悖的。因此下次你去你朋友家玩的时候,可以随便弹响他的钢琴几个键然后立刻说,它是走调的。当他们说他们刚刚付钱找人调过音的时候,你可以回应:“我知道,但它真的跑调了。升G跑远了。”

平均律调音的被接受使得半音协调(chromatic harmonies)与等音(enharmonic,小于半音的)解释显得更为引人入胜。这给予了贝多芬在和声选择上的更大自由,被肖邦发扬光大,并被瓦格纳和勃拉姆斯带到音调之极致。我们可以这样认为,因此,巴赫对于音调的思维方式,播下了后世无调性(atonality)的种子。但我此时想要跑题一会儿:手风琴是世界范围内普遍接受平均律的主要原因,因为它廉价并无法被重新调音。

我们的创作应体现Ab和G#间的差别吗?已经有了吗?下一步是合成一架可以演奏两者的钢琴吗?它们已经在那了吗?

与平均律调音有关,甚至更使人不安(即使对于专业的音乐家来说)的是毕达哥拉斯音律(Pythagorean Comma),在音乐上用奇异的、几乎难以置信的弯曲(warp,玩ableton live的人应该对这个单词很熟)调节到逻辑均等,但数学上差异的音程会造成不同的频率。即,依靠你选择的路径去往不同的地方。如果从C4开始,围绕每个五度循环一路使用3:2的比率进行计算调制纯音程,然后对八度如法炮制,你会得到一个不同的频率。如果是八度的话,你会得到这样的路线(使用A以使这数学看起来简单一些)A1, A2, A3, A4, A5, A6, A7, A8,即55, 110, 220, 440, 880, 1760, 3520。如果是五度,这将是A1, E2, B2, F#3, C#4, G#4 (Ab), Eb5, Bb5, F6, C7, G7, D8, A8,但这样的话,你将会走到3171.58。同样地,别相信我的话。拿个计算器出来。你同样可以使用6个大调第二音程(9:8)(major second intervals,不知道我翻译的正确否?)持续一个八度来图释这一点,然后用一个单独的八度(2:1)做同样的计算。

作者: ww1way

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